勾三股四弦五，中國學生打小就會背，而且把它當作勾股定理的代稱。通過該定理，一部古籍也獲得了高曝光率，這就是《周髀算經》——中國天學史、文化史上的一部奇書。

　　說是書，字不多，6000字上下，比《老子》多不了多少，可分為兩部分17節。第一部分是周公與商高的對話。商高向周公介紹了勾三股四弦五這個勾股定理的特例，以及這個定理在實際測量中的廣泛應用。這部分隻有1節，但它是后面涉及的各種測量的理論依據，相對獨立。第二部分包括后面16節，形式上是榮方與陳子的對話，由陳子向榮方講述蓋天說及其相關。

　　既然是周公和商高的對話了，那這書是不是就是商周之際的古籍呢？不是，與其他古籍一樣，《周髀算經》裡的人物也是偽托，借古人之口宣講自己的觀點。這是戰國秦漢間書籍的通例，也可以說是那個時代流行的寫作方式或修辭手段。學界傾向認為《周髀算經》成書於秦漢時期。數學史學者錢寶琮則考証它成書年代在公元前100年左右。

　　成書時間是一回事，書中反映的思想內容來自什麼年代是另一回事。《周髀算經》中的天文、數學知識很可能來自更早以前。比如勾三股四弦五，中國人很可能早就認識到了，隻不過目前《周髀算經》是最早記載的。

　　《周髀算經》一開始名為《周髀》。唐代時，國子監設立有“算學”課程，所用的教材有10部算經，即《算經十書》，《周髀》是其中之一。自此以后就改名為《周髀算經》。

　　循名責實，髀，又叫表，是天文觀測的儀器——只是一根長8尺的竿子，垂直於地面而已。測量太陽高度時，看表在陽光下投在地面上的影長，將地面之影稱為勾，把表本身視為股，因影子和表身成直角，就可以利用勾股定理算出。比如當影長6尺時，可推算出太陽高度為8萬裡。結論在現代看來並不准確，但是當時科技水平、認識程度的體現。

　　因為全書的測量活動，都假定在周地（大部分情況下可以理解為洛陽）進行，因此稱作“周髀”，意思就是“周地之表”。

　　《周髀算經》中使用的這種八尺之表，后世長期沿用。考慮到地面上的影子長度需要精確讀取，后來就用一把水平的尺子（上有刻度）和表連成一體，這水平之尺稱為“圭”，整個儀器就叫做“圭表”。這樣，使用起來更方便。隻要把圭表放在正南正北的方向，直接讀取圭面上的表影長度即可。如今南京紫金山天文台就保存有一部明代的大型青銅圭表。

　　八尺之表有很多妙用。書中至少提到了7種：測太陽遠近、北極遠近、璇璣四游、二十八宿、回歸年長度，以及測算二十四節氣和測定東西南北方向。

　　這些測量活動運用的勾股定理，書中有兩處直接講到了。第一處是第一節，商高對周公談到矩時所說的：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩。環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”

　　第二處是第三節，對勾股定理進行了一次具體應用，但仍是直角三角形三邊之長為3、4、5時的特例。

　　基於此，很多學者認為《周髀算經》沒有提出普適的勾股定理，只是根據經驗得出特例而已。而普適情形的証明，要到東漢末三國初的趙爽作注時才完成。

　　西學東漸之后，不少人基於自強心理，提出很多“國字號”來抗衡西方思潮，武術稱為國術、學術稱為國學、中醫稱為國醫……看到勾股定理這一“古已有之”的定理，被西方人稱為“畢達哥拉斯定理”，感到不平，遂改稱勾股定理為“商高定理”，理由就是《周髀算經》早就提出過了。

　　對此，錢寶琮認為：“今人撰算書稱勾股定理，不曰畢達哥拉斯定理，而曰商高定理，以尊重國學，意至善也。余則以為算學名詞宜求信達。周公同時有無商高其人、《周髀》之術，姑不具論﹔借曰有之，亦不過當時知有勾三、股四、弦五之率耳，不足以言勾股通例也。中國勾股算術至西漢時《周髀算經》撰著時代始有萌芽，實較希臘諸家幾何學為晚。題曰商高，似屬未妥。”

　　今天看近百年前錢先生的論述，仍可謂通達之論。事實上，將這個定理稱為勾股定理是最合適的——既簡潔明了，又避免了無謂的發明權之爭，而且仍不乏中國特色。

　　事實上，測算只是方法，《周髀算經》是要構建宇宙模型的。與渾天說不同，它描述的蓋天宇宙模型的基本格局是：天和地是平行的平面，在北極下的大地上矗立著高6萬裡、底面直徑為2.3萬裡的上尖下粗的“璇璣”。在這個宇宙之外是什麼？《周髀算經》的作者說了：“過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知。”表示存疑，不武斷，這是很明智的做法。時至今日，天文學大發展，但仍未能找到宇宙的邊緣。

　　在傳統天文學著作中，《周髀算經》是個另類。其他書觀天也好、測地也罷，是為了指導人世間的事務，對軍政大事提供借鑒，對農業生產提供幫助。《周髀算經》純為了解釋自然、探索自然，就想把蓋天宇宙模型論証清楚。因此有學者評價該書是“古代中國純潔的、當之無愧的數理天文學”，是“公理化方法在古代中國的唯一實踐”。

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